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数学将被证明是错的如果这程序停止运行

归档日期:05-11       文本归类:多带图灵机      文章编辑:爱尚语录

  我们使用了150年之久的现代数学将被证明是错误的——如果这样一个新的计算机程序停止了运行。还好,这不太可能发生。但是,支持它的代码正测试着数学体系的局限。

  这个程序就是一台模拟的图灵机,是由密码破译学家艾伦·图灵发明的数学计算模型。1936年的时候,图灵就指出,任何计算机算法的行为都可以被一台简单的机器模拟出来:一台以不同状态和指令在无限长的带子上读写0,1为工作原理的机器。并且算法越复杂,机器所需要使用的状态就越多。

  现在,麻省理工学院的Scott AaronsonAdam Yedidia已经制造了三台图灵机,他们与一些深刻的数学问题紧密联系。这些问题包括了已经困扰人们150年之久的黎曼假设的证明,黎曼假设是一个对质数的分布规律的猜想。

  一直以来,图灵机都用于探求类似的难题。这些难题源自于上世纪30年代一系列撼动数学界的带有哲学意味的新发现。首先,库尔特·哥德尔证明了总有一些数学命题既不能被证明是真的,也不能被证明是假的——他们是不可以被判定的。特别地,对于“这句话是假的”这个命题(说谎者悖论),他用了全新的数学视角做出如此解读:一个合乎逻辑但又自相矛盾的脑筋急转弯。

  哥德尔的理论给自己留了一条退路。如果你改变了建立在证明之上的基本假设——公理,虽然你可以使一个问题变得可判定了,但这样却会让其它的一些问题变得不可判定。换句话说,就是不存在能证明一切的万能公理系统。

  根据哥德尔的结论,图灵相信一定存在一些在标准公理体系下无法预测其行为的图灵机,含选择公理C的,或者更接地气些可描述为ZFC,ZFC是绝大部分数学的基础。但是我们根本不知道这些标准公理体系有多复杂。

  现在,Yedidia和Aaronson已经创造了一台带有7918个状态、具有这个ZFC属性的图灵机,并把它命名为“Z”。

  “我们试图能更具体地描述出在进入不可证明性的‘黑洞’前它需要使用多少个状态。” Aaronson说。

  他们在计算机上模拟了Z,理论上Z小得可以被当成一个物理设备建立起来。加利福尼亚大学洛杉矶分校的陶哲轩说:“假设忽略物理的摩擦和能源的消耗,如果当时有人已经开启了这样一个物理设备,那么我们可以相信它将无限运行。”

  Z将在它的7918条指令中永久循环下去,然而如果它最终停止了,就将证明ZFC矛盾。数学家们不必太恐慌,因为只要他们简单地转向一组稍稍强一些的公理集合。这样的公理系统是存在的,并且可以用来验证Z的行为,但是这样做几乎得不到什么收获,因为总有一台图灵机可以超越任何公理。

  “我们可以把任何被给定的公理系统想象成一个有特定内存大小和处理能力的计算机。”陶哲轩说,“我们可以转向一台拥有更多内存的计算机,但是,不管计算机有多大的存储空间,仍然存在一些超出它能力的任务,是它无法完成的。”

  Aaronson和Yedidia已经创造了另外两台机器,这可能给数学家们节约不少的时间。长期以来,有两个著名的数学问题一直被相信是真的,并且也只有当它们被证明是确实假的时候,这两台机器才会停止。它们分别是哥德巴赫猜想和黎曼假设。哥德巴赫猜想指出,每一个大于2的偶数是两个素数之和,黎曼假设认为,所有的素数分布都遵循一定的规律。后者形成了部分现代数论的基础,如果不幸地被推翻了,将会是一个重大的颠覆。

  实际上,他们没有无限期运行他们的图灵机来证明这些问题是错误的打算。“这不是攻克这个问题的有效方式,”来自亚特兰大佐治亚理工学院的Lance Fortnow说。

  解释数学问题,图灵机有不同的实际意义:它协助计算了复杂问题的复杂性。如果说Z机器有7918个状态,那哥德巴赫的机器就有4888个状态,而黎曼的是5372个状态,这表明ZFC问题是这三个问题中最复杂的。“这更符合大多数人对不同事物的直观的比较方式。”Aaronson 说。

  现在Yedidia 已经将他的将他的代码放到网上,数学家们也争相把这些图灵机的大小缩减至极致。尽管还没有验证,但是在Aaronson 博客下的一位评论者声称他已经创造了一台只需31个状态的哥德巴赫机。

  Fortnow表示图灵机的实际大小是不影响的。他说,“文章表明我们可以有比ZFC强的而可以很精简的图灵机,但是即使它们变得更精简了,在基础数学的研究上它也不会允许我们有更多的松懈。”

  但Aaronson 说进一步地缩减Z将会带来一些有意思的讨论——关于数学底层构建的局限性的——一些哥德尔和图灵希望能知道的事情。“他们也许会说,‘这真是太棒了,但是你可以搞定只需要800个状态的图灵机吗?80个状态的呢?’” Aaronson表示,“我想要知道,是否可以有一台这样的机器,它的行为能独立于ZFC而只有10个状态。”

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