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如何简单清晰地解释哥德尔不完备定理

归档日期:05-26       文本归类:多带图灵机      文章编辑:爱尚语录

  第一不完备性定理:任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统,都存在一个命题,它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。

  第二不完备性定理:如果系统S含有初等数论,当S无矛盾时,它的无矛盾性不可能在S内证明。

  该定理与塔尔斯基的形式语言的真理论,图灵机和判定问题,被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。哥德尔证明了任何一个形式系统,只要包括了简单的初等数论描述,而且是自洽的,它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。

  不完备性的结论影响了数学哲学以及形式化主义(使用形式符号描述原理)中的一些观点。我们可以将第一定理解释为“我们永远不能发现一个万能的公理系统能够证明一切数学真理,而不能证明任何谬误”。

  理论上,哥德尔理论仍留下了一线希望:也许可以给出一个算法判定一个给定的命题是否是不确定的,让数学家可以忽略掉这些不确定的命题。然而,对可判定性问题的否定回答表明不存在这样的算法。(此处的算法为严格定义,要求对任何输入都能在有限时间内停机)

  要注意哥德尔理论只适用于较强的公理系统。“较强”意味着该理论包含了足够的算术以便承载对第一不完备定理证明过程的编码。

  基本上,这就要求系统能将一些基本操作例如加法和乘法形式化,例如在鲁宾逊算术Q中那样。有一些更弱的公理系统是相容而且完备的,例如Presburger算术,它包括所有的一阶逻辑的真命题和关于加法的真命题。

  展开全部一帮数学家和逻辑学家觉得数学和逻辑简直是这个世界上最牛逼的东西。因为当时世界上很多东西都能用数学和逻辑解释。比如有人提出了几何的公理,基于这些公理又推演出各个定理。然后你发现你初中学那些几何知识可以解决好多现实问题。

  这个时候就有人想,是不是这个世界所有东西都可以通过这种方式来证明啊。有人就提出这么一个想法,就是可不可以定义一个系统,这个系统与现实世界一一映射,也就是:现实世界的东西都能在这个系统中解释,这叫一致性。第二,这个系统的推演出的结论在现实世界中都是真的,这叫完备性。

  如果有这么一个系统那就太厉害了。比如现实世界有很多未知的东西,人类现在可能没办法探索到。但是有这系统的话,我们不用在现实世界去探索了,直接在该系统中生成一个命题,利用推理证明就行了,证明的结果就能映射到现实世界中。

  想法多好。但是被哥德尔这家伙推翻了。他说,所有强大的系统都会有没办法证明的命题。也就是说,该命题没法映射到现实世界。即不完备。

  想证明这个系统存在很难,但是证明它不存在很简单,只要提出一个反例就行。比如,系统中存在这样一个命题:本命题无法被证明。

  需要补充几个概念,一个是证明。其实就是初中学那个知识:利用公理和定理进行逻辑推论的过程叫证明。

  另外一个是:哥德尔的不完备定理只适用于强大的系统。也就是说:如果这个系统比较弱,可能就不适用。刚才说到的系统已经强大到跟现实世界一一映射了。

  知道合伙人教育行家采纳数:7086获赞数:28638从芝麻将到行家,已经帮助了百万人以上,希望将看得见的知识,分享给更多有需要的人。向TA提问展开全部哥德尔不完备定理:

  任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统,都存在一个命题,它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。

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